Těmirkanov, který byl čerkeského původu, patřil k žákům někdejšího ředitele leningradské konzervatoře Ilji Musina. Poprvé na sebe upozornil ještě v dobách Sovětského svazu.
Roku 1976 se v Leningradu stal šéfem Kirovova státního akademického divadla opery a baletu, dnes známého jako Mariinské. O 12 let později stanul v čele místní filharmonie, kde nahradil zesnulého Jevgenije Mravinského. Od roku 1988 v této funkci působil až do loňska, kdy jako šéfdirigent skončil a zůstal jen v méně důležité pozici hudebního ředitele.
V rozhovorech Těmirkanov vždy tvrdil, že za komunismu se mu podařilo dirigovat a získávat režimní ceny, aniž by vstoupil do strany. Bývalý generál sovětské KGB Oleg Kalugin ve svých pamětech Spymaster popsal situaci, kdy leningradská buňka strany koncem 80. let doporučila zakázat Těmirkanovovi cesty do zahraničí. "Z odposlechu v bytě tehdy vyplynulo, že dirigent zvažuje emigraci," napsal Kalugin.
Brzy nato ale Sovětský svaz padl a Těmirkanov emigrovat nemusel. Zůstal u Leningradské filharmonie, spolu s městem roku 1991 přejmenované na Petrohradskou filharmonii, a v chaosu doprovázejícím rozpad starého režimu se snažil obnovit pověst orchestru.
Proslul zejména barvitými, expresivními provedeními děl Petra Iljiče Čajkovského, Sergeje Rachmaninova, Sergeje Prokofjeva a Dmitrije Šostakoviče, s nímž spolupracoval ještě osobně, píše deník Washington Post. Podle něj bylo pro Těmirkanova typické, že hráče vedl bez taktovky a namísto opulentních gest na dirigentském stupínku či efektních vyjádření pro média se oddaně, spíše ve skrytu věnoval hudbě.
V 90. letech minulého století paralelně působil v Londýně jako šéfdirigent Royal Philharmonic Orchestra. Mezi lety 2000 a 2006 byl šéfem symfonického orchestru v Baltimoru, kde jej vystřídala a následně zastínila Marin Alsopová.
Jako hlavní hostující dirigent rovněž působil v dánském Národním symfonickém orchestru nebo londýnském Královském filharmonickém orchestru. Kromě toho vystupoval s Berlínskými a Vídeňskými filharmoniky nebo tělesy v New Yorku, Chicagu, Filadelfii a Clevelandu, doplňuje agentura DPA.
Dirigenta vícekrát neminula ani přízeň ruského prezidenta Vladimira Putina, který mu roku 2013 udělil medaili k pětasedmdesátinám a pět let nato přidal druhou, když dorazil i na oslavu Těmirkanovových osmdesátin v Petrohradu.
Dirigenta dobře znali také Češi, od 70. let minulého století několikrát navštívil festival Pražské jaro. Naposledy před osmi lety, u příležitosti 70. výročí ukončení druhé světové války, zde s Petrohradskou filharmonií zahráli Šostakovičovu Leningradskou symfonii. Druhý večer následoval Houslový koncert a moll, při němž orchestr doprovodil Juliana Rachlina, plus skladatelova Pátá symfonie.
"Měl jsem to štěstí poznat se s Šostakovičem osobně. Byl to poslední svatý člověk v Rusku a také jediný člověk ve dvacátém století, který odpovídal na úplně všechny dopisy, které dostal," řekl Těmirkanov v Praze. Šostakovič zemřel 9. srpna 1975.
Jurij Těmirkanov se měl s Petrohradskou filharmonií vrátit na Pražské jaro v roce 2020, plánované provedení Šostakovičovy Šesté a Brahmsova klavírního koncertu s Andrásem Schiffem už se ale neuskutečnilo kvůli první vlně pandemie koronaviru.
V čele Petrohradské filharmonie Těmirkanova nahradil Nikolaj Alexejev, který roku 1985 vyhrál dirigentskou soutěž Václava Talicha pořádanou právě Pražským jarem.