Finney, který se narodil v roce 1936 v severoanglickém Salfordu, podle své rodiny "zesnul pokojně po krátké nemoci se svými nejbližšími po boku". Přesnou příčinu úmrtí rodina neoznámila. V roce 2011 herec, který nerad hovořil o svém soukromí, v jednom z rozhovorů uvedl, že prodělal rakovinu ledvin.

Finney, který byl také uznávaným divadelním hercem, se před filmovou kamerou objevil poprvé v roce 1960 a sociálně laděný snímek V sobotu večer, v neděli ráno mu přinesl mezinárodní slávu. Později si zahrál i v historickém filmu Tom Jones (1963), za který byl poprvé nominován na Oscara. Další nominace přišly se snímky Vražda v Orient expresu, Garderobiér (1983), Ve stínu vulkánu (1984) a Erin Brockovich (2000). V roce 2012 se objevil Finney také v bondovce Skyfall či snímku Bourneův odkaz.

Ačkoli na Oscara Finney nikdy nedosáhl, na svém kontě má řadu ocenění včetně britských cen BAFTA nebo Zlatých glóbů.