Šťastný se narodil ve Zlíně, tehdejším Gottwaldově. Před kamerou se objevil už v několika dětských rolích a jako mladík hrál amatérsky divadlo. Vystudoval herectví na pražské DAMU a již tehdy hostoval na jevišti Národního divadla, kde po studiích získal angažmá.
V roce 1992 přešel do Divadla na Vinohradech, kde působí dodnes. V lednu ho diváci budou moci vidět například v pohádkové inscenaci Ondina.
Často se objevuje v televizních seriálech, v 90. letech například v seriálech Život na zámku a Četnické humoresky, později mimo jiné Místo nahoře, Strážce duší, Náměstíčko, Náves, Pojišťovna štěstí, Ordinace v růžové zahradě, Vyprávěj, Gympl s (r)učením omezeným, Krejzovi nebo Slunečná.
